Approximate solution to g – renewal equation with underlying weibull distribution

Abstract

An important characteristic of the g-renewal process, and of great practical interest, is the g-renewal equation, which represents the expected cumulative number of recurrent events as a function of time. The problem is that the g-renewal equation does not have a closed form solution, unless the underlying event times are exponentially distributed. The Monte Carlo solution [10], although exhaustive, is computationally demanding. This paper offers a simple-toimplement (in an Excel spreadsheet) approximate solution, when the underlying failure-time distribution is Weibull. The accuracy of the proposed solution is in the neighborhood of 2%, when compared to the respective Monte Carlo solution. Based on the proposed solution, we also consider an estimation procedure of the grenewal process parameters.

Важной характеристикой g-восстановительного процесса, также представляющей существенный практический интерес, является уравнение gвосстановления, которое характеризует матожидание суммарного числa повторных событий в функции времени. Проблема состоит в том, что уравнение g-восстановления не имеет решения в замкнутом виде, кроме случая экспоненциального базового распределения. Решение Монте-Карло [10] хотя и исчерпывающее, но в вычислительном плане достаточно емкое. В данной статье рассматривается сравнительно простое в реализации (в Excel) приблизительное решение, для случая Вейбулловского базового распределения. Точность предложенного решения не отличается от соответствующего решения Монте-Карло более чем на 2%. Основываясь на предложенном решении, мы также рассмотрели процедуру оценки параметров уравнения gвосстановления.

Важливою характеристикою g-відновного процесу, що представляє істотний практичний інтерес є рівняння g-відновлення, яке характеризує маточікування сумарного числа подій, що повторюються у функції часу. Проблема полягає в тому, що у рівняння g-відновлення немає рішення у замкненому виді, за винятком експоненціального базового розподілу. Рішення Монте-Карло [10] хоча і є вичерпним, але в обчислювальному плані досить ємне. В статті розглядається порівняно просте в реалізації (в Excel) приблизне рішення, для випадку базового розподілення Вейбула. Точність запропонованого рішення не відрізняється від відповідного рішення Монте-Карло більш ніж на 2%. Ґрунтуючись на запропонованому рішенні, ми також розглянули процедуру оцінки параметрів рівняння g-відновлення.