Про нелінійну модель зернопотоку неоднорідної суміші по плоскому віброрешету

Abstract

З використанням квадратичної реологічної залежності типу Севіджа описано усталений рух шару дрібнозернистої суміші змінної пористості по плоскому віброрешету, що нахилене до горизонту. При цьому розподіл питомої маси по висоті рухомого шару апроксимовано квадратним трьохчленом, у якого коефіцієнти залежать від амплітуди і частоти коливань віброрешета, а також від механічних властивостей зерносуміші. У виразах коефіцієнтів є множник, яким врахована наявність на поверхні решета інтенсифікаторів процесу сегрегації (ребер, рифлів, тощо). Завдяки вказаній апроксимації вдалося аналітичним способом розв’язати складене нелінійне диференціальне рівняння руху першого порядку. Розв’язок подано у вигляді квадратури, яка не виражається в замкненій формі через відомі функції. Тому запропоновано два варіанти наближеного обчислення інтеграла. Перший варіант ґрунтується на розкладанні підінтегральної функції в степеневий ряд і замінні ряду його частковою сумою. У другому варіанті через елементарні функції виражена головна частина інтеграла, а додаткова частина (нев’язка) знайдена наближено по формулі Сімпсона. У такий спосіб виведено наближені розрахункові формули для обчислення швидкості зернопотоку, продуктивності віброрешета і питомого його завантаження. Досліджено вплив різних чинників, зокрема реологічних сталих, на розрахункові кінематичні характеристики зернопотоку. Проведено порівняння числових результатів, до яких призводить запропонований спосіб розрахунку, з надрукованими в літературі. Встановлено гарну відповідність числових результатів, одержаних різними методами, чим підтверджена вірогідність виведених розрахункових формул. На відміну від відомих досліджень, розроблена модель не потребує числового інтегрування диференціальних рівнянь другого порядку при розрахунках кінематичних характеристик зернопотоку по нахиленому віброрешету.

С использованием квадратической реологической зависимости типа Сэвиджа описано установившееся движение слоя мелкозернистой смеси переменной пористости, по плоскому виброрешету, наклоненному к горизонту. При этом распределение удельной массы по высоте движущегося слоя аппроксимировано квадратным трехчленом, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты колебаний виброрешета, а также от механических свойств зерносмеси. В выражениях коэффициентов есть множитель, которым учтено наличие на поверхности решета интенсификаторов процесса сегрегации (ребер, рифлей и пр.). Благодаря указанной апроксимации удалось аналитическим способом решить составленное нелинейное дифференциальное уравнение движения первого порядка. Решение представлено в виде квадратуры, которая не выражается в замкнутой форме через известные функции. Поэтому предложено два варианта приближенного вычисления интеграла. Первый вариант основан на разложении подынтегральной функции в степенной ряд и замене ряда частичной его суммой. Во втором варианте выражена через элементарные функции главная часть интеграла, а дополнительная часть (невязка) определена приближенно по формуле Симпсона. Таким образом, получено приближенные расчетные формулы для вычисления скорости зернопотока, производительности виброрешета и удельной его загрузки. Исследовано влияние различных факторов, в частности реологических постоянных, на расчетные кинематические характеристики зернопотока. Проведено сравнение численных результатов, к которым приводит предложенный способ расчета с опубликованными в литературе. Установлено хорошее соответствие численных результатов, полученных разными методами, чем подтверждена состоятельность выведенных расчетных формул. В отличие от известных исследований, разработанная модель не требует численного интегрирования дифференциальных уравнений при расчетах пористости смеси и кинематических характеристик зернопотока по плоскому виброрешету.

Using the quadratic rheological dependence of the Savage’s type, the steady motion of a layer of a finegrained mixture of variable porosity is described, along a flat vibrosieve inclined to the horizon. In this case, the distribution of the specific mass over the height of the moving layer is approximated by a square trinomial, the coefficients of which depend on the amplitude and frequency of oscillations of the vibrosieve, and also on the mechanical properties of the grain mixture. In the expressions for the coefficients, there is a factor that takes into account presence on sieve surface of the segregation process intensifiers (ribs, riffles, etc.). Due to shown approximation, we succeeded in solving of analytically compiled nonlinear differential equation of motion of the first order. The solution is represented in the form of an integral, which is not expressed in a closed form through known functions. Therefore, two versions of the approximate calculation of the integral are proposed. The first variant is based on the expansion of the integrand function in the power series and replacement of the series by its partial sum. In the second variant, the principal part of the integral is expressed in terms of elementary functions, and the additional part (residual) is determined approximately by the Simpson’s formula. Thus, approximate calculation formulas are obtained for calculating the velocity of the grain flow, the performance of the vibrating sieve and its specific loading. The influence of various factors, in particular rheological constants, on the calculated kinematic characteristics of the grain flow was studied. A comparison of the numerical results, to which the proposed calculation method leads with published in the literature, is compared. A good correspondence of the numerical results obtained by different methods is established, which confirms the consistency of the derived calculation formulas. In contradistinction to wellknown studies, the developed model does not require the numerical integration of differential equations in calculating porosity of the mixture and kinematic characteristics of the flow on a flat vibrosieve.