Вільні коливання осцилятора Дуффінгу з сухим тертям

Abstract

Описано вільні затухаючі коливання осцилятора з сухим тертям Кулона при наявності лінійного та кубічного доданків у виразі відновлюючої сили, яка залежить від переміщення системи. Використовуючи перший інтеграл нелінійного диференціального рівняння руху, визначення точних значень амплітуд розмахів зведено до обчислення відповідних дійсних коренів кубічного рівняння, що має аналітичну реалізацію. Для наближеного обчислення значень амплітуд запропонована також додаткова компактна ітераційна формула. Задовільна збіжність ітерацій по ній підтверджена чисельними розрахунками. Розв’язана також задача визначення тривалостей розмахів. Для цього переходом до нових змінних інтегрування невласний інтеграл другого роду зведено до суми двох власних інтегралів, що виражають тривалість розмаху в часі. Їх доводиться інтегрувати чисельними методами на комп’ютері. Тому додатково подано нерівності для двобічної оцінки тривалостей розмахів та запропонована компактна формула, що дає можливість наближено обчислити цю тривалість. Проведено порівняння числових результатів, одержаних різними способами. Показано, що затухання амплітуд коливань, тривалості розмахів у часі їх кількість до повної зупинки осцилятора залежать від характеристик нелінійності. Встановлено, що у зв’язку з нелінійною пружністю, тривалості розмахів осцилятора Дуффінга залежать від амплітуд коливань. Від характеристик нелінійності також залежить і ширина області застою осцилятора, визначення якої зведено до обчислення дійсного кореня кубічного рівняння за формулами Кардано. Виведені формули дають можливість без використання другого інтегралу нелінійного рівняння коливань осцилятора обчислити його основні кінематичні характеристики, які змінюються в ході руху.