Інтегральне рівняння удару пружного конуса об перешкоду і його наближений розв’язок

Abstract

Побудовано наближений аналітичний розв’язок інтегрального рівняння удару з невеликою швидкістю двох пружних тіл, одне з яких конус обертання. Для цього використано метод послідовних наближень і формулу Шенкса, яка в замкненій формі наближено виражає суму степеневого ряду. Одержані розв’язки дають розгортку в часі процесу удару та можливість обчислення максимуму сили стискання, максимуму зближення центрів мас тіл і тривалості удару. Викладений спосіб побудови наближених розв’язків інтегральних рівнянь сили удару незакріплених тіл є досить універсальним. Він може бути використаним для теоретичного дослідження удару тіл, обмежених поверхнями високих порядків, що описують щільний контакт, а також поверхнями з сингулярними точками, для яких існують аналітичні розв’язки контактної задачі теорії пружності. При складанні інтегрального рівняння сили удару задіяні теорія Г. Герца і розв’язок вісесиметричної контактної задачі теорії пружності, одержаний І.Я. Штаерманом. Показано, що побудовані наближені розв’язки можна використовувати і для апроксимації тих періодичних Ateb-функцій, в першій чверті їх періоду, через які виражається точний аналітичний розв’язок цієї задачі удару. Похибки наближених розв’язків менші 0,5 %. Це встановлено порівнянням числових результатів, до яких вони призводять, з результатами інтегрування диференціального рівняння удару на комп’ютері. Наведено приклади розрахунків, що підтверджують вірогідність отриманих аналітичних рішень. Викладена теорія стосується малих швидкостей удару, коли при динамічній взаємодії тіл не виникає великої області пластичних деформацій. Поява малої області таких деформацій неминуча в околі вершини конуса і при малих швидкостях зіткнення тіл, але її не враховуємо в роботі.