Моделювання трас з обмеженнями на топологічні та геометричні параметри

Abstract

Розглянуті та розроблені математичні моделі розв’язання оптимізаційних задач з’єднання в неоднозв’язних областях при типових технологічних обмеженнях на геометричні та топологічні параметри трас, перш за все, на кривину і кількість зламів. Ці моделі поєднані з існуючими і перспективними топогеодезичними моделями полігонального зображення територій. Рішення задач з’єднання пов’язана з пошуком оптимальних траєкторій трас та мереж в ділянках вільної геометричної форми, що потребує розробки достатньо загальних моделей як областей, в котрих ці з’єднання реалізуються. Це можуть бути з’єднання таких типів, як ломані, манхетенові, гладкі, тілесні та траси інших видів. Як показано у роботах Смелякова С. В. та Алісейко Г. А. (Плєхова Г. А.) глобальна та локальна регуляризація геометричних побудов при рішенні задач з’єднань [1], загальну оптимізаційну задачу з'єднань можна сформулювати як задачу вибору < Ω, 𝑅 >, де Ω – множина альтернатив, а 𝑅 – принцип оптимальності. При цьому множина Ω – може бути представлена як сукупність {𝜑,𝑄} фазового простору 𝜑 та обмежень 𝑄, накладених на параметри фазового простору 𝜑. В свою чергу, фазовий простір 𝜑 доцільно уявити декартовим добутком 𝜑 = 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 ∗ 𝑈 вихідних даних 𝑋, збурювань 𝑌, параметрів керувань 𝑈 та результатів Z. Як показує аналіз задачі [1] ефективність моделювання фазового простору 𝜑 в першу чергу пов’язана з описом вихідних даних 𝑋 в ділянці 𝐹 та просторі 𝐿 припустимих трас в 𝐹. Це питання розглядається як розробка побудови структури моделей та методології їх використання, яка дозволяла би можливість конструктивного та ефективного (в обчислювальному відношенні) побудови та перебору різноманітних моделей та алгоритмів, які зберігають геометричність інваріантності моделей, необхідних для конкретного використання в умовах припустимості використання різноманітних структур вихідних даних. Рішенню проблеми створення такої моделі в кордонах геометричного проектування для задач з’єднання і присвячена дана робота.

Рассмотрены и разработаны математические модели решения оптимизационных задач соединения в неодносвязных областях при типовых технологических ограничениях на геометрические и топологические параметры трасс, прежде всего, на кривизну и количество изломов. Эти модели объединённые с существующими и перспективными топогеодезическими моделями полигонального изображения территорий. Решение задач соединения связано с поиском оптимальных траекторий трасс и сетей в участках свободной геометрической формы, что требует разработки достаточно общих моделей как областей, в которых эти соединения реализуются. Это могут быть соединения таких типов, как ломаные, манхетеновые, гладкие, телесные и трассы других видов. Как показано в работах Смелякова С. В. и Алисейко А. А. (Плехова А. А.) глобальная и локальная регуляризация геометрических построений при решении задач соединений [1], общую оптимизационную задачу соединений можно сформулировать как задачу выбора< 𝛺, 𝑅 >, где 𝛺 – множество альтернатив, а 𝑅 – принцип оптимальности. При этом множество 𝛺 – может быть представлено как совокупность {𝜑,𝑄} фазового пространства 𝜑 и ограничений 𝑄, наложенных на параметры фазового пространства 𝜑. В свою очередь, фазовое пространство 𝜑 целесообразно представить декартовым произведением 𝜑 = 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 ∗ 𝑈 исходных данных 𝑋, возмущений 𝑌, параметров управлений 𝑈 и результатов 𝑍. Как показывает анализ задачи [1] эффективность моделирования фазового пространства 𝜑 в первую очередь связана с описанием исходных данных 𝑋 в участке 𝐹 и пространстве 𝐿 допустимых трасс в 𝐹. Этот вопрос рассматривается как разработка построения структуры моделей и методологии их использования, позволяющей возможность конструктивного и эффективного (в вычислительном отношении) построения и перебора различных моделей и алгоритмов, сохраняющих геометричность инвариантности моделей, необходимых для конкретного использования в условиях допустимости использования различных структур исходных данных. Решению проблемы создания такой модели в границах геометрического проектирования для задач соединения и посвящена данная работа.

Mathematical models for solving optimization problems of connection in non-simply connected domains with typical technological constraints on the geometric and topological parameters of the routes, first of all, on the curvature and the number of kinks, are considered and developed. These models are combined with existing and prospective topogeodetic models of the polygonal image of territories. The solution of connection problems is associated with the search for optimal trajectories of traces and networks in sections of free geometric shape, which requires the development of fairly general models as areas in which these connections are realized. These can be junction types such as polyline, Manhattan, smooth, solid, and other types of traces. As shown in the works of Smelyakov S. V. and Aliseyko A. A. (Plekhova A. A.) global and local regularization of geometric constructions in solving connection problems [1], the general optimization problem of connections can be formulated as the problem of choosing < 𝛺, 𝑅 >, where 𝛺 – is a set of alternatives, and 𝑅 is the optimality principle. In this case, the set 𝛺 – can be represented as a set of {𝜑,𝑄}of the phase space 𝜑 and the constraints 𝑄 imposed on the parameters of the phase space 𝜑. In turn, the phase space 𝜑 is expedient to represent the Cartesian product 𝜑 = 𝑋 ∗ 𝑌 ∗ 𝑍 ∗ 𝑈 of the initial data 𝑋, disturbances 𝑌, control parameters 𝑈 and results 𝑍. As the analysis of the problem [1] shows, the efficiency of modeling the phase space 𝜑 is primarily related to the description of the initial data 𝑋 in the section 𝐹 and the space 𝐿 of admissible traces in 𝐹. This issue is considered as the development of the construction of the structure of models and the methodology of their use, which allows the possibility of constructive and efficient (computationally) construction and enumeration of various models and algorithms that preserve the geometric invariance of the models required for a specific use under the conditions of admissibility of using various structures of the initial data. This work is devoted to solving the problem of creating such a model within the boundaries of geometric design for connection problems.