Про наближене обчислення швидкості потоку зернової суміші в циліндричному віброрешеті

Abstract

Виведено нелінійне диференціальне рівняння першого порядку, яке описує усталений вертикальний рух шару віброзрідженої дрібнозернистої суміші по внутрішній поверхні циліндричного решета віброцентрифуги, що обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо вертикальної вісі. В основу рівняння покладено нелінійну квадратично-полігональну залежність дотичного напруження в суміші від швидкості деформації зсуву. Припускається, що реологічні сталі в цій залежності параметрично пов’язані з фізико-механічними характеристиками зерносуміші та характеристиками механічних коливань віброцентрифуги. Додатково до рівняння сформульовано крайову умову. Вона виражає відсутність ковзання суміші по поверхні віброрешета. Одержано аналітичний розв’язок поставленої крайової задачі у вигляді квадратури, яка не виражається через елементарні або затабульовані спеціальні функції. Тому для обчислення квадратури (або швидкості потоку) запропоновано два наближених способи, які ґрунтуються на відомій в інтегральному численні формулі Сімпсона. У першому способі названа формула безпосередньо застосовується для обчислення інтеграла, а в другому додатково проводиться попередня апроксимація підінтегральної функції, завдяки чому основна частина інтеграла виражається окремим доданком у аналітичному вигляді. Показано, що другий спосіб обчислень більш точний, ніж перший. Його похибка не перевищує десятих долей відсотка, що встановлено порівнянням наближених і точних результатів, одержаних числовим комп’ютерним інтегруванням. Ефективне використання формули Сімпсона можливе завдяки відносно малій товщині рухомого шару зерносуміші. В статті наведено перелік останніх публікацій, де раніше в континуальних моделях руху сипкого матеріалу використовували квадратичну реологічну залежність. Сформульована мета дослідження, яка полягає а виведенні компактних формул для наближеного обчислення швидкості усталеного зернопотоку на поверхні циліндричного решета віброцентрифуги. В результаті проведених розрахунків досліджено вплив товщини рухомого шару та реологічних сталих на швидкість потоку зерносуміші.

Выведено нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее установившееся вертикальное движение слоя виброожиженной мелкозернистой смеси по внутренней поверхности цилиндрического решета виброцентрифуги, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. В основу уравнения положено нелинейную квадратично-полигональную зависимость касательного напряжения в смеси от скорости деформации сдвига. Предполагается, что реологические постоянные в этой зависимости параметрически связанные с физико-механическими характеристиками зерносмеси и характеристиками механических колебаний виброцентрифуги. Дополнительно к уравнению сформулировано краевое условие. Оно выражает отсутствие скольжения смеси по поверхности виброрешета. Получены аналитическое решение поставленной краевой задачи в виде квадратуры, не выражается через элементарные или затабулированные специальные функции. Поэтому для вычисления квадратуры (или скорости потока) предложено два приближенных способа, основанные на известной в интегральном исчислении формуле Симпсона. В первом способе названная формула непосредственно применяется для вычисления интеграла, а во втором дополнительно проводится предварительная аппроксимация подинтегральной функции, благодаря чему основная часть интеграла выражается отдельным слагаемым в аналитическом виде. Показано, что второй способ вычислений более точен, чем первый. Его погрешность не превышает десятых долей процента, установленного сравнением приближенных и точных результатов, полученных числовым компьютерным интегрированием. Эффективное использование формулы Симпсона возможно благодаря относительно малой толщине подвижного слоя зерносмеси.

Nonlinear first order differential equation describing the steady vertical movement of vibroliquefied layer of fine-grained mixture on the inner surface of the cylindrical sieve of vibrating centrifuge which rotating at a constant angular velocity around a vertical axis are deduced. Nonlinear quadratic-polygonal dependence of shear stress in a mixture from shear strain rate are laid in equations basis. It is assumed, that the rheological constant in this depending are parametrically associated with the physical and mechanical characteristics of the grain mixture and the characteristics of the mechanical vibrations of vibrating centrifuge. In addition to the equation a boundary conditions is formulated. It expresses the absent of slip of mixture on vibrosieve surface. Analytic solution of the boundary value problem in the form of squaring, that can not be expressed in terms of elementary or special tabulated functions are obtained. Therefore, to calculate of the integral (or flow velocity) two approximate methods based on well-known in the integral calculus Simpson’s formula are suggested. In the first method, called formula is applied directly to the integral calculation, and in the second addition is carried out a preliminary approximation of the integrand, so the basic part of integral is expressed a separate summand in analytical form. It is shown that the second method is more accurate than the first. Its error does not exceed tenths of a percentage set by comparing the approximate and exact results obtained by numerical computer integration. Effective using of Simpson's formula is possible due to the relatively small thickness of the moving layer grain mixture. In article provides a list of recent publications, where earlier in the continuum models of bulk material movement the quadratic rheological dependence were used. Formulated objective of the study, which is a derivation of a compact formula for approximate calculation of the velocity of a steady grain flows on the surface of the cylindrical sieve vibrating centrifuge. In a result of the calculations the effect of movable layer thickness and rheological constant to the grain mixture velocity are investigated.