Про рух квадратично нелінійного осцилятора з сухим тертям

Abstract

Робота присвячена виведенню та апробації формул для обчислення переміщення осцилятора та визначення тривалостей напівциклів коливань в умовах сухого тертя. Вивести точне рекурентне співвідношення для обчислення розмахів затухаючих вільних коливань за умови дії сухого тертям можливо й без побудови розв’язку диференціального рівняння руху, якщо використати енергетичний метод. Але визначення переміщень осцилятора у часі потребує розв’язку диференціального рівняння руху. В роботі описано вільні затухаючі коливання осцилятора з симетричною квадратично нелінійною силовою характеристикою, що має лінійну складову. Причиною коливань служить початкове відхилення системи від положення статичної рівноваги, а їх затухання є наслідком дії сили сухого тертя. Розглянуто варіанти жорсткої та м’якої пружних характеристик. Для обох із них побудовано точні розв’язки рівняння руху. У підсумку переміщення осцилятора в часі виражено через еліптичні функції Якобі. Тривалість чверть і напівциклів виражено через еліптичний інтеграл першого роду, що потребує використання таблиць цих спеціальних функцій. Наведено також наближені формули для обчислення значень еліптичних функцій, де їх зведено до обчислень елементарних функцій. Проведення порівняння числових результатів, одержаних за допомогою аналітичних розв’язків та чисельним інтегруванням вихідного диференціального рівняння руху на комп’ютері. Виявлено малі розбіжності в значеннях переміщень, зумовлених наближеним обчисленням еліптичних функцій. Похибки реалізації аналітичного розв’язку пов’язані з наближеним обчисленням функції Якобі. За підсумками порівняння числових результатів підтверджено вірогідність виведених розрахункових формул стосовно переміщень і тривалостей напівциклів, що залежить від розмахів коливань. Встановлено, що диференціальне рівняння вільних коливань осцилятора з квадратично нелінійною силовою характеристикою та сухим тертям має точні аналітичні розв’язки, що виражаються через еліптичні функції Якобі, а отримані наближені розв’язки мають досить гарну узгодженість з чисельним інтегруванням рівнянь руху на комп’ютері.

The work is devoted to the derivation and testing of formulas for calculating the displacement of an oscillator and determining the duration of a half-cycle of oscillations under conditions of dry friction. It is possible to derive an exact recurrence relation for calculating the ranges of damped free oscillations under conditions of dry friction without constructing a solution to the differential equation of motion, using the energy method. But determining the displacements of the oscillator in time requires decoupling the differential equation of motion. The paper describes free damped oscillations of an oscillator with a symmetric quadratically nonlinear power characteristic, has a linear component. The cause of oscillations is the initial deviation of the system from the position of static equilibrium, and their damping is a consequence of the action of the force of dry friction. Variants of hard and soft elastic characteristics are considered. For both of them, exact solutions of the equation of motion are constructed. As a result, the movement of the oscillator in time is expressed in terms of Jacobi elliptic functions. The duration of a quarter and a half-cycle is expressed in terms of an elliptic integral of the first kind, requires the use of tables of these special functions. Approximate formulas for calculating the values of elliptic functions are also given, where they are reduced to calculating elementary functions. Comparison of numerical results obtained using analytical solutions and numerical integration of the original differential equation of motion on a computer. Small differences in the values of the displacements due to the approximate calculation of elliptic functions are revealed. Errors in the implementation of analytical solutions associated with the approximate calculation of the Jacobi function. Based on the comparison of the numerical results, the probability of the derived design formulas for the displacements and half-cycle durations was confirmed, depending on the range of fluctuations. It was found that the differential equation of free oscillations of an oscillator with a quadratically nonlinear force characteristic and dry friction has exact analytical solutions expressed in terms of Jacobi elliptic functions, and the obtained approximate solutions have a fairly good agreement with the numerical integration of the equations of motion on a computer