Вільні коливання пружно нелінійного осцилятора з сухим тертям

Abstract

Методом енергетичного балансу виведено рекурентні співвідношення для розрахунку послідовності спадаючих амплітуд розмахів дисипативного осцилятора з сухим тертям Кулона. Розглянуто різні варіанти нелінійної пружності коливальної системи. У статті розглянуті випадки коливань осцилятора з наступними показниками нелінійності коефіцієнту пружності: степенево-нелінійної пружності з варіантами лінійного пружного осцилятора, осцилятора з м’якою характеристиками пружності при різних її значеннях, квадратичною та кубічною нелінійністю; коливання осцилятора за наявності в виразі сили пружності лінійної складової з різними показниками нелінійності. Виділено випадки, коли виведені рекурентні співвідношення мають замкнені аналітичні розв’язки і побудовано їх. Складені рекурентні співвідношення між амплітудами розмахів та запропоновано їх числове розв’язання методом ітерацій Ньютона. Проведено порівняння числових результатів, до яких призводять такі розв’язки та комп’ютерне інтегрування диференціального рівняння руху. Показано повну узгодженість результатів, одержаних різними способами. Запропоновано компактні формули для розрахунку ширини зони застою при різних нелінійностях. Викладений спосіб розрахунку простий в реалізації , бо не потребує розв’язування нелінійного диференціального рівняння вільних коливань осцилятора. При виведенні рекурентних співвідношень задіяно точний аналітичний розв’язок кубічного рівняння, запропонований Кардано. Виявлено варіанти нелінійностей, коли розрахунок зводиться до використання явних рекурентних співвідношень, пов’язаних з розв’язками квадратного та кубічного рівнянь. У випадку довільного показника нелінійності розрахунок амплітуд доводиться проводити методом ітерацій.

Методом энергетического баланса выведены рекуррентные соотношения для расчета последовательности ниспадающих амплитуд размахов диссипативного осциллятора с сухим трением Кулона. Рассмотрены различные варианты нелинейной упругости колебательной системы. В статье рассмотрены случаи колебаний осцилятора со следующими показателями нелинейности коєффициента упругости: нелинейно-степенного с вариантами линейного упругого осциллятора, осциллятора с мягкой характеристикой упругости при различных ее значениях, квадратичной и кубической нелинейностью; колебания осциллятора при наличии в выражении силы упругости линейной составляющей с разными показателями нелинейности. Выделены случаи, когда выведенные рекуррентные соотношения имеют замкнутые аналитические решения и построено их. Составленные рекуррентные соотношения между амплитудами размахов и предложено их числовое решение методом итераций Ньютона. Проведено сравнение численных результатов, к которым приводят такие решения и компьютерные интегрирования дифференциального уравнения движения. Показано полную согласованность результатов, полученных различными способами. Предложены компактные формулы для расчета ширины зоны застоя при различных видах нелинейности. Изложенный способ расчета прост в реализации, потому что не требует решения нелинейного дифференциального уравнения свободных колебаний осциллятора. При выводе рекуррентных соотношений задействовано точное аналитическое решение кубического уравнения, предложенное Кардано. Выявлено варианты нелинейностей, когда расчет сводится к использованию явных рекуррентных соотношений, связанных с решениями квадратного и кубического уравнений. В случае произвольного показателя нелинейности расчет амплитуд приходится проводить методом итераций. Выявлено варианты нелинейностей, когда расчет сводится к использованию явных рекуррентных соотношений, связанных с решениями квадратного и кубического уравнений. В случае произвольного показателя нелинейности расчет амплитуд приходится проводить методом итераций.

Using the energy balance method, recurrence relations are derived for calculating the sequence of falling amplitudes of the ranges of a dissipative oscillator with dry Coulomb friction. Various variants of nonlinear elasticity of the oscillatory system are considered. The article discusses cases of oscillations of an oscillator with the following non-linearity coefficients of elasticity: nonlinear-power with options for a linear elastic oscillator, an oscillator with a soft characteristic of elasticity at its various values, quadratic and cubic nonlinearity; oscillations of the oscillator in the presence in the expression of the elastic force of the linear component with different nonlinearity indices. The recurrence relations between the amplitudes of the ranges are compiled and their numerical solution is proposed by the Newton iteration method. Cases are distinguished when the derived recurrence relations have closed analytical solutions, and their graphs are constructed. A comparison is made of the numerical results that such solutions and computer integration of the differential equation of motion lead to. The full consistency of the results obtained in various ways is shown. Compact formulas are proposed for calculating the stagnation zone width for various types of nonlinearity. The described calculation method is simple to implement, because it does not require solving the nonlinear differential equation of free oscillations of the oscillator. In deriving the recurrence relations, the exact analytical solution of the cubic equation proposed by Cardano is involved. Variants of nonlinearities are revealed when the calculation reduces to using explicit recurrence relations related to the solutions of quadratic and cubic equations. In the case of an arbitrary indicator of nonlinearity, the amplitudes are calculated by the iteration method.