Коливання прямокутної пластини на однобічній пружній основі при імпульсному навантаженні

Abstract

Розглянуто коливання прямокутної пластини з шарнірним опиранням країв, яка підкріплена однобічною пружною основою та піддана силовому імпульсному навантаженню. Вибрана прямокутна форма імпульсу в часі. При дії зовнішнього навантаження лінійно-пружна основа чинить опір стисканню, але не сприймає розстискання, внаслідок чого розвантажена пластина відривається від основи. Дослідження показало, що амплітуда прогину пластини після відриву від основи може бути більша ніж амплітуда переміщення в напрямі дії імпульсу. Це співвідношення стосується і згинальних напружень в пластині, що називають динамічним ефектом несиметрії пружної характеристики системи. Встановлено умови, коли має місце вказаний ефект. Умови пов’язані з пружними та масовими характеристиками коливальної системи і з тривалістю дії імпульсу, але в них не входить величина прикладеного тиску до пластини, що є наслідком кусково-лінійної силової характеристиками системи. Рух пластини поділено на два етапи. На першому з них пластина знаходиться в контакті з основою, а на другому етапі цей контакт відсутній і непідкріплена пластина здійснює вільний коливальний рух. Побудовано аналітичні розв’язки рівняння динамічного деформування пластини на обох етапах. Це стало можливим завдяки вибору спеціального розподілу тиску по поверхні пластини. Розподіл вибрано таким, щоб на першому етапі руху деформована серединна поверхня пластини була такою як форма вільних коливань на першій частоті. Проведено припасування аналітичних розв’язків, внаслідок чого отримано компактні формули для розрахунку зміни прогинів і згинальних напружень у часі. Виведено також формулу відношення амплітуд прогинів пластини в обидва боки від положення статичної рівноваги. З’ясовано умови, коли це відношення більше одиниці, що відповідає прояву динамічного ефекту несиметричної пружної характеристики системи. Наведено приклади розрахунків з використанням аналітичних розв’язків і проведенням числового інтегрування диференціального рівняння руху на комп’ютері. Показано повну відповідність числових результатів, до яких призводять вказані методи.

Рассмотрены колебания прямоугольной пластины с шарнирным опиранием краев, которая подкреплена односторонним упругим основанием и подвержена силовому импульсному нагружению. Выбрана прямоугольная форма импульса во времени. При воздействии внешней нагрузки линейно-упругое основание сопротивляется сжатию, но не воспринимает расжатия, в результате чего разгруженная пластина отрывается от основания. Исследование показало, что амплитуда прогиба пластины после отрыва от основания может быть больше, чем амплитуда перемещения в направлении действия импульса. Это соотношение касается и изгибных напряжений в пластине, что называют динамическим эффектом несимметрии упругой характеристики системы. Установлены условия, когда имеет место указанный эффект. Условия связаны с упругими и массовыми характеристиками колебательной системы и с продолжительностью действия импульса, но в них не входит величина приложенного давления к пластине, что является следствием кусочно-линейной силовой характеристиками системы. Движение пластины разделено на два этапа. На первом из них пластина находится в контакте с основанием, а на втором этапе этот контакт отсутствует, и неподкрепленная пластина осуществляет свободное колебательное движение. Построены аналитические решения уравнения динамического деформирования пластины на обоих этапах. Это стало возможным благодаря выбору специального распределения давления по поверхности пластины. Распределение выбрано таким, чтобы на первом этапе движения деформированная срединная поверхность пластины была такой как форма свободных колебаний на первой частоте. Проведено припасовывание аналитических решений, в результате чего получено компактные формулы для расчета изменения прогибов и изгибающих напряжений во времени. Выведены также формулу отношения амплитуд прогибов пластины в обе стороны от положения статического равновесия. Выяснены условия, когда это отношение больше единицы, что соответствует проявлению динамического эффекта несимметричной упругой характеристики системы. Приведены примеры расчетов с использованием аналитических решений и проведением численного интегрирования дифференциального уравнения движения на компьютере. Показано полное соответствие численных результатов, к которым приводят указанные методы.

Oscillations of a rectangular plate with hinged support of the edges, which is supported by a unilateral elastic base and subjected to a forceful pulse loading, are considered. Rectangular pulse shape in time is selected. When exposed to an external load, the linear-elastic base resists compression, but does not perceive decompression, with the result that the unloaded plate detaches from the base. The study showed that the amplitude of the plate deflection after separation from the base may be greater than the amplitude of movement in the direction of the pulse. This ratio also applies to bending stresses in the plate, which is called the dynamic effect of the asymmetry of the elastic characteristic of the system. Conditions are established when the specified effect occurs. The conditions are related to the elastic and mass characteristics of the oscillatory system and the duration of the pulse, but they do not include the magnitude of the applied pressure to the plate, which is a consequence of the piecewise linear force characteristics of the system. The movement of the plate is divided into two stages. On the first of these, the plate is in contact with the base, and at the second stage this contact is absent and the unsupported plate carries out a free oscillatory motion. Analytical solutions of the equation of dynamic plate deformation at both stages are constructed. This was made possible by choosing a special pressure distribution over the plate surface. The distribution is chosen so that at the first stage of the movement the deformed middle surface of the plate is like the form of free oscillations at the first frequency. Analytical solutions were fitted, as a result of which compact formulas were obtained for calculating changes in deflections and bending stresses over time. The formula for the ratio of the amplitudes of the plate deflections thru both sides of the static equilibrium position is also derived. The conditions has had clarified when this ratio is greater than unity, which corresponds to the manifestation of the dynamic effect of an asymmetric elastic characteristic of the system. Examples of calculations using analytical solutions and numerical integration of the differential equation of motion on a computer are given. The complete correspondence of the numerical results to which the indicated methods lead is shown.