Аппроксимация функции нормального распределения функцией логистического распределения и её применение для определения надёжности механических систем

Abstract

На основе анализа статистических данных о человеческих потерях при техногенных катастрофах установлено, что основной причиной их вызывающих может быть недостаточная прочность материалов конструкций по отношению к внешним воздействиям. Показано, что вероятностные модели, применяемые при расчете надежности механических конструкций по отношению к внешним воздействиям, могут быть источником снижения техногенной опасности. Так, как эти модели основаны на анализе композиций функций распределения прочности материала и внешнего воздействия, то их результат может быть представлен с применением специальных функций, например, функции нормального распределения. Для удобства численного анализа полученных результатов в работе предложена аппроксимация функции нормального распределения функцией логистического распределения. В работе рассмотрены различные виды такой аппроксимации и оценена их абсолютная погрешность. Предложена оценка абсолютной погрешности надежности конструкции при условии, что закон распределения нагрузки экспоненциальный, закон распределения нагрузки нормальный. Предложен способ оценки абсолютной погрешности величины надежности при условии замены нормального распределения логистическим. В том случае, когда параметры логистического распределения необходимо оценить по выборочным данным, предложены уравнения метода максимума правдоподобия. Уравнения приведены для двух случаев. В первом следует оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, во втором случае следует оценить параметры положения и масштаба. Для решения уравнений методом Ньютона приведены для каждого случая системы уравнений. Приведены оценки параметров логистического распределения, полученные по методу моментов и рекомендуемые в качестве начального приближения при решении систем уравнений метода максимума правдоподобия.

На основі аналізу статистичних даних про людські втрати при техногенних катастрофах встановлено, що основною причиною їх виникнення може бути недостатня міцність матеріалів конструкцій по відношенню до зовнішніх впливів. Показано, що імовірнісні моделі, які застосовуються при розрахунку надійності механічних конструкцій по відношенню до зовнішніх впливів, можуть бути джерелом зниження техногенної небезпеки. Оскільки ці моделі засновані на аналізі композицій функцій розподілу міцності матеріалу і зовнішнього впливу, їх результат може бути представлений із застосуванням спеціальних функцій, наприклад, функції нормального розподілу. Для зручності чисельного аналізу отриманих результатів в роботі запропонована апроксимація функції нормального розподілу функцією логістичного розподілу. В роботі розглянуто різні види такої апроксимації та оцінено їх абсолютну похибку. Запропоновано оцінку абсолютної похибки надійності конструкції за умови, що закон розподілу навантаження є експонентним, а також закон розподілу навантаження є нормальний. Запропоновано спосіб оцінки абсолютної похибки величини надійності за умови заміни нормального розподілу логістичним. У тому випадку, коли параметри логістичного розподілу необхідно оцінити за вибірковими даними, запропоновані рівняння методу максимуму правдоподібності. Рівняння наведено для двох випадків. У першому випадку слід оцінити математичне очікування і середньоквадратичне відхилення, у другому випадку слід оцінити параметри положення і масштабу. Для розв’язання рівнянь методом Ньютона наведено системи рівнянь для кожного випадку. Наведено оцінки параметрів логістичного розподілу, які отримано за методом моментів і рекомендовано застосовувати їх в якості початкового наближення при розв’язанні систем рівнянь метода максимуму правдоподібності.

According to the analysis of statistical data on human losses during man-made disasters, lack of strength structural materials in relation to external influences can be the main reason causing these losses. It is shown that the probability models used for calculating the mechanical structures’ reliability considering external influences, can be a source of reducing the man-made hazards. As these models are based on both an analysis of the material strength distribution functions compositions and the external action, the models’ effect can be presented using special functions, such as the normal distribution function. To simplify the numerical analysis of the obtained results, the approximation of the normal distribution function by the logistic distribution is proposed. The different types of such an approximation are discussed and their absolute error is evaluated. An absolute error estimate of the design reliability is considered for both exponential and normal distribution law. A method for evaluating the absolute error of reliability values when replacing the normal distribution by logistic one is proposed. To estimate the logistic distribution parameters based on the sample data, equations of the maximum likelihood method are proposed. Equations are presented for two cases. According to the first case, the mean and standard deviation are evaluated. According to the second one, the parameters of the position and scale are evaluated. To solve proposed equations using the Newton's method, needed system of equations are presented. The estimates of the logistic distribution parameters, that is obtained by the method of moments and recommended as an initial approximation for solving systems of equations by the maximum likelihood method, are given.