Динамічне згинання балки з бінарним закріпленням країв

Abstract

Розглянуто деформування балки при короткочасному силовому навантаженні імпульсом, розподіленим по її довжині. Припускається, що умови закріплення кінців балки залежать від знаку прогину або кутів повороту її торців. При дії силового навантаження, а також деякий час після нього, кути повороту дорівнюють нулю, тобто кінці балки жорстко затиснуті, а після зміни знаку переміщення вони стають вільно обіпертими в циліндричних шарнірах. Тому рух балки поділено на два етапи. На першому з них, коли краї балки жорстко затиснуті, розв’язок задачі виражено в функціях О. М. Крилова. Виведено компактну формулу для розрахунку позитивного переміщення балки та згинальних моментів на опорах і в серединному перерізі. Показано, що максимуми цих величин не перевершують їх подвійних статичних значень. Виведено також формули для обчислення часу, коли досягаються максимуми, та формулу для обчислення тривалості першого етапу руху. На другому етапі руху розвантажена балка з шарнірно обіпертими краями здійснює вільне коливання. Від’ємні переміщення балки та згинальний момент в ній подано в тригонометричних рядах. Проведено числові розрахунки. Встановлено, що при малих тривалостях силового імпульсу порівняно з періодом основного тону коливання, амплітуди прогинів у бік силового навантаження менші ніж амплітуди прогинів балки в протилежний бік. Це стосується і амплітуд згинальних моментів по середині балки. По мірі зростання тривалості дії імпульсу, цей динамічний ефект, властивий коливальним системам з несиметрично характеристикою пружності, перестає проявлятись. За підсумками розрахунків побудовано графіки зміни у часі прогинів та згинальних моментів у характерних перерізах балки. Досліджено також вплив кількості обчислених членів в часткових сумах рядів на точність (збіжність) числових результатів. Таким чином, застосований метод припасовування розв’язків виявився ефективним способом одержання аналітичних результатів в розглянутій нелінійній задачі, спрощення якої вдалося досягти за рахунок вибору окремого розподілу силового навантаження по довжині балки. Саме він дозволив одержати декілька компактних розрахункових формул для першого етапу руху.

Рассмотрено деформирование балки при кратковременном силовом нагружении импульсом, распределенным по ее длине. Предполагается, что условия закрепления концов балки зависят от направления прогиба, то есть от углов поворота ее торцов. При действии силового нагружения, а также при некотором времени и после него, углы поворота равны нулю, ибо концы балки жестко защемлены, а после изменения знака перемещения они становятся свободно опертыми в цилиндрических шарнирах. Поэтому движение балки разделено на два этапа. На первом из них, когда края балки жестко защемлены, решение задачи выражено в функциях А. Н. Крылова. Выведены компактные формулы для расчета положительного перемещения балки и изгибающих моментов на опорах и в срединном сечении. Показано, что максимумы этих величин не превышают удвоенных их статических значений. Выведено также формулы для вычисления времени, когда достигаются максимумы и формула для вычисления продолжительности первого этапа движения. На втором этапе движения разгруженная балка с шарнирно опертыми краями совершает свободное колебание. Отрицательное перемещение балки и изгибающий момент в ней представлены в тригонометрических рядах. Проведено числовые расчеты. Установлено, что при малых продолжительностях силового импульса по сравнению с периодом основного тона колебаний амплитуды прогибов в сторону силового нагружения меньше нежели амплитуды прогибов балки в противоположную сторону. Это касается и амплитуд изгибающих моментов по середине балки. По мере нарастания продолжительности действия импульса этот динамический эффект, свойственный колебательным системам с несимметричной характеристикой упругости, исчезает. По итогам расчетов построены графики изменения во времени прогибов и изгибающих моментов в характерных сечениях балки. Исследовано также влияние количества вычисленных членов в частичных суммах рядов на точность (сходимость) числовых результатов. Таким образом, использованный метод припасовывания решений оказался эффективным способом получения аналитических результатов в решаемой нелинейной задаче, упрощение которой удалось достичь за счет выбора отдельного распределения силового нагружения по длине балки. Именно он позволил получить несколько компактных расчетных формул для первого этапа движения.

The deformation of a beam under short-time force loading by a pulse distributed along its length is considered. It is assumed that the conditions for securing the ends of the beam depend on the direction of deflection, that is, on the angles of rotation of its ends. Under the action of force loading, as well as for some time and after it, the angles of rotation are zero, since the ends of the beam are rigidly clamped, and after changing the sign of displacement they become freely supported in the cylinder hinges. Therefore, the motion of the beam is divided into two stages. On the first of them, when the edges of the beam are rigidly constrained, the solution of the problem is expressed in the functions of A. N. Krylov. A compact formula has been derived for calculating the positive displacement of the beam and the bending moments on the supports and in the median section. It is shown that the maxima of these quantities do not exceed their doubled static values. Formulas are also derived for calculating the time when the maxima and the formula for calculating the duration of the first stage of motion are reached. At the second stage of the movement, the unloaded beam with hinged edges is freely oscillated. The negative displacement of the beam and the bending moment in it are represented in trigonometric series. Numerical calculations are carried out. It is established that for small duration of the power pulse, in comparison with the period of the fundamental tone of the oscillations, the amplitude of the deflections toward the force loading is less than the amplitude of the deflections of the beam in the opposite direction. This also applies to the amplitudes of the bending moments along the middle of the beam. As the duration of the action of the pulse increases, this dynamic effect, characteristic of vibrational systems with an asymmetric elasticity characteristic, disappears. Based on the results of calculations, graphs of the time variation of deflections and bending moments in the characteristic cross sections of the beam are plotted. The effect of the number of computed terms in partial sums of series on the accuracy (convergence) of numerical results is also investigated. Thus, the used method of fitting solutions proved to be an effective way of obtaining analytical results in the solved nonlinear problem, the simplification of which was achieved due to the choice of a separate force load distribution along the length of the beam. It was he who allowed us to obtain several compact computational formulas for the first stage of the movement.