Про коливання осцилятора з квадратично-нелінійною жорсткістю

Abstract

В роботі розглянуто вільні коливання системи з одним ступенем вільності за умови, що сила пружності пружини пропорційна квадрату її деформації. Побудовано дві форми аналітичного розв’язку нелінійного диференціального рівняння. В першій, розв’язок виражено через еліптичний косинус, а в другий – через Ateb-функції. Складено таблиці для обчислень значень цих функцій і побудовано в безрозмірних координатах графіки, які спрощують розрахунки переміщень осцилятора у часі. Виведено формули для обчислення періодів коливань при наданні осцилятору початкового відхилення від положення рівноваги, або початкової швидкості (миттєвого імпульса). Наведено приклади розрахунків з використанням відомих таблиць неповного еліптичного інтеграла першого роду та з використанням складеної таблиці періодичних Ateb-функцій.

In this work the free oscillations of the system with one degree of freedom provided by elastic force of the spring is proportional to the square of its deformation. Two forms of analytical solution of nonlinear differential equations were built. At first, the solution is expressed through elliptic cosine, and the second - in Ateb-function. A table for computing the values of these functions got and built in dimensionless coordinates schedules that simplify calculations oscillator movement in time. The formula for calculating period of oscillation in the oscillator providing initial deviation from the equilibrium position or initial velosity (momentary impulse) are obtained. The examples of calculations using known tables incomplete elliptic integral of the first kind and using a table Ateb-functions are shown.