Про затухання вільних коливань дисипативного осцилятора дуффінга

Abstract

Розглянуто вільні затухаючі коливання осцилятора типу Дуффінга при дії лінійного в’язкого опору. Для проведення дослідження використано метод енергетичного балансу. Реалізовано два варіанти методу, який не потребує побудови розв’язку нелінійного диференціального рівняння руху. В першому варіанті складено наближене диференціальне рівняння обвідної графіка коливань. Його розв’язок при жорсткій характеристиці пружності виражено через функцію Ламберта додатного аргументну. При м’якій характеристиці пружності аргумент функції Ламберта від’ємний. Для спрощення використання розв’язку, складено таблицю вказаної спеціальної функції, а також запропоновано компактну апроксимацію її, при малих аргументах, елементарними функціями. При цьому задіяно відому формулу Шенкса для суми повільно збіжного степеневого ряду. В другому варіанті методу енергетичного балансу одержано рекурентне співвідношення для обчислень амплітуд розмахів. Його зведено до кубічного рівняння, що має замкнений аналітичний розв’язок. Проведено порівняння числових результатів, до яких призводить метод енергетичного балансу та числове інтегрування диференціального рівняння руху на комп’ютері. Задовільна збіжність результатів підтвердила прийнятність вибраного наближеного методу для розрахунку вільних затухаючих коливань дисипативних осциляторів типу Дуффінга. Цей метод дає можливість наближено розв’язувати й обернену задачу, а саме ідентифікувати значення коефіцієнта лінійного в’язкого опору при відомому декременту затухання амплітуд коливань. Процедура ідентифікації передбачає використання рівняння енергетичного балансу, складене для одного розмаху коливань.

Рассмотрены свободные затухающие колебания осциллятора типа Дуффинга при действии линейного вязкого сопротивления. Для проведения исследования использован метод энергетического баланса. Реализовано два варианта метода, который не требует построения решения нелинейного дифференциального уравнения движения. В первом варианте составлено приближенное дифференциальное уравнение огибающей графика колебаний. Его решение при жесткой характеристике упругости выражено через функцию Ламберта положительного аргумента. При мягкой характеристике упругости аргумент функции Ламберта отрицательный. Для упрощения использования решения, составлена таблица указанной специальной функции, а также предложено компактную аппроксимацию ее, при малых аргументах, элементарными функциями. При этом задействовано известную формулу Шенкса для суммы медленно сходящегося степенного ряда. Во втором варианте метода энергетического баланса получено рекуррентное соотношение для вычислений амплитуд размахов. Его сведено к кубическому уравнению, которое имеет замкнутое аналитическое решение. Проведено сравнение числовых результатов, к которым приводит метод энергетического баланса и числовое интегрирование дифференциального уравнения движения на компьютере. Удовлетворительная сходимость результатов подтвердила приемлемость выбранного приближенного метода для расчета свободных затухающих колебаний диссипативных осцилляторов типа Дуффинга. Этот метод дает возможность приближенно решать и обратную задачу, а именно идентифицировать значение коэффициента линейного вязкого сопротивления при известном декременте затухания амплитуд колебаний. Процедура идентификации предусматривает использование уравнения энергетического баланса, составленного для одного размаха колебаний.

Free damped oscillations of a Duffing-type oscillator under linear viscous resistance are considered. For the study, the energy balance method was used. Two versions of the method have been implemented, which does not require constructing a solution to the nonlinear differential equation of motion. In the first version, an approximate differential equation of the envelope of the oscillation graph is compiled. Its solution with a rigid characteristic of elasticity is expressed in terms of the Lambert function of a positive argument. With a soft characteristic of elasticity, the argument of the Lambert function is negative. To simplify the use of the solution, a table of the indicated special function is compiled, and a compact approximation of it, with small arguments, by elementary functions is proposed. In this case, the well-known Shanks formula for the sum of slowly converging power series is involved. In the second version of the energy balance method, a recurrence relation is obtained for calculating the amplitudes of the ranges. Its reduced to a cubic equation, which has a closed analytical solution. A comparison of numerical results, which leads to the method of energy balance and numerical integration of the differential equation of motion on a computer. Satisfactory convergence of the results confirmed the acceptability of the chosen approximate method for calculating the free damped oscillations of dissipative oscillators of the Duffing type. This method makes it possible to approximately solve the inverse problem, namely, to identify the value of the coefficient of linear viscous resistance with a known decrement of damping of the oscillation amplitudes. The identification procedure involves the use of the energy balance equation, compiled for one swing range.